EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.[quantização de Graceli].

  G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   [ q G*]ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

[ q G*] ==G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR G+ GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI. 

[ q G*] = energia quântica Graceli.

A temperatura inversa é dada por

${\displaystyle \beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{kT}}}$ /

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura. A temperatura inversa é mais fundamental que a temperatura. A temperatura inversa é usada em muitas equações incluindo a Wick rotation.

Na teoria matemática dos processos estocásticos, o tempo local é um processo estocástico associado a processos de difusão como o movimento browniano, que caracteriza a quantidade de tempo que uma partícula dispende em determinado nível.^[1] O tempo local aparece em várias fórmulas de integração estocástica se o integrando não é suficientemente derivável, tal como a fórmula de Tanaka.^[2][3][4] Também é estudado em mecânica estatística no contexto de campos aleatórios.

Definição formal

Para um processo de difusão real ${\displaystyle (B_{s})_{s\geq 0}}$, o tempo local de ${\displaystyle B}$ até o ponto ${\displaystyle x}$ é um processo estocástico. Matematicamente, a definição de tempo local é:

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,ds}$,

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle B_{s}}$ é o processo de difusão e ${\displaystyle \delta }$ é a função delta de Dirac. É uma noção inventada por Paul Lévy. A idéia básica é que ${\displaystyle L^{x}(t)}$ é uma medida (reescalonada) de quanto tempo ${\displaystyle B_{s}}$ dispendeu em ${\displaystyle x}$ até o momento ${\displaystyle t}$. Pode ser escrito como:

${\displaystyle L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,ds}$,

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

que explica porque é chamado de tempo local de ${\displaystyle B}$ em ${\displaystyle x}$. Para um processo de espaço de estado discreto ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$, o tempo local pode ser expresso de forma mais simples como:^[5]

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds}$.

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Fórmula de Tanaka

A fórmula de Tanaka fornece uma definição de tempo local para um semimartingale contínuo arbitrário ${\displaystyle (X_{s})_{s\geq 0}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$:^[6]

${\displaystyle L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)dX_{s},\qquad t\geq 0}$.

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Uma forma mais geral foi provada independentemente por Meyer^[7] e Wang;^[8] a fórmula estende o lema de Itô para duas funções diferenciáveis para uma classe mais geral de funções. Se${\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ é absolutamente contínuo com a derivada ${\displaystyle F'}$, que é de variação limitada, então:

${\displaystyle F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)dF'(x)}$,

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle F'_{-}}$ é a derivada esquerda.

Se ${\displaystyle X}$ é um movimento browniano, então para qualquer ${\displaystyle \alpha \in (0,1/2)}$ o campo de tempos locais ${\displaystyle L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}}$ tem uma modificação que é Hölder contínua em ${\displaystyle x}$com expoente ${\displaystyle \alpha }$, uniformemente para ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle t}$.^[9] Em geral, ${\displaystyle L}$ tem uma modificação que é contínua em ${\displaystyle t}$ e càdlàg em ${\displaystyle x}$.

A Fórmula de Tanaka fornece a forma explícita decomposição de Doob-Meyer para o movimento browniano refletido unidimensional, ${\displaystyle (|B_{s}|)_{s\geq 0}}$.

Teoremas Ray–Knight

O campo de tempos locais ${\displaystyle L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}}$ associado a um processo estocástico no espaço ${\displaystyle E}$ é um tema bem estudado na área de campos aleatórios. Os teoremas do tipo Ray-Knight relacionam o campo ${\displaystyle L_{t}}$ com um processo Gaussiano associado.

Em geral, os teoremas Ray-Knight do primeiro tipo consideram o campo ${\displaystyle L_{t}}$ em um momento de batimento do processo subjacente, enquanto que os teoremas do segundo tipo são em termos de um tempo de parada no qual o campo de tempos locais primeiro excede um dado valor.

Primeiro teorema de Ray–Knight

Seja ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ um movimento browniano unidimensional ${\displaystyle B_{0}=a>0}$, e ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ um movimento browniano bidimensional padrão ${\displaystyle W_{0}=0\in R^{2}}$. Para definir o tempo de parada em que ${\displaystyle B}$ primeiro atinge a origem, ${\displaystyle T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}}$, Ray^[10] e Knight^[11] (independentemente) mostraram que,

${\displaystyle \mathbf {(1)} \left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

onde ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$ é o campo dos tempos locais de ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$, e a igualdade está na distribuição ${\displaystyle C[0,a]}$. O processo ${\displaystyle |W_{x}|^{2}}$ é conhecido como o processo de Bessel ao quadrado.

Segundo teorema Ray–Knight

Seja ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ um movimento browniano unidimensional padrão ${\displaystyle B_{0}=0\in R}$, e seja ${\displaystyle (L_{t})_{t\geq 0}}$ um campo associado dos tempos locais. Seja ${\displaystyle T_{a}}$ a primeira vez em que o tempo local em zero excede ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Seja ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ um movimento browniano unidimensional independente ${\displaystyle W_{0}=0}$, então^[12]

${\displaystyle \mathbf {(2)} \left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}.\,}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Equivalentemente, o processo ${\displaystyle (L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}}$ (que é um processo na variável espacial ${\displaystyle x}$) é igual na distribuição ao quadrado de um processo de Bessel de dimensão 0, e como tal é markoviano.

Generalização dos teoremas de Ray–Knight

Os resultados do tipo Ray-Knight para processos estocásticos mais gerais têm sido intensamente estudados e as declarações (1) e (2) são conhecidos por processos Markov fortemente simétricos.

Movimento Browniano na Física

A primeira teoria do Movimento Browniano na Física foi publicada por Einstein em sua tese de doutoramento no ano de 1905, publicada em "Annalen der Physik". Inicialmente, Einstein analisou as equações de Navier-Stokes para o escoamento de um fluido incompressível, obtendo:^[6]

                                                         ${\displaystyle \eta *=\eta (1+\phi )}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde,

${\displaystyle \eta *}$ = Viscosidade efetiva na presença de soluto;

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do solvente puro;

${\displaystyle \phi }$ = Parte do volume total que é ocupada pelo soluto.

Assim, com base em grandezas conhecidas, como a massa molar e a densidade, tem - se que:

                                                        ${\displaystyle \phi ={\frac {4}{3}}\pi (a^{3})((\rho N_{A})/m)}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Desse modo, as únicas incógnitas são o raio da partícula (${\displaystyle a}$) e o Número de Avogrado (${\displaystyle N_{A}}$). O cientista buscou ainda outro modo de relacionar ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle N_{A}}$, obtendo um resultado matemático em que relaciona a difusão (D) com a temperatura e a viscosidade do fluido, de forma:^[7]

                                                          ${\displaystyle D={\frac {RT}{6\pi .a.n.N_{A}}}}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde,

D = Coeficiente de Difusão

R = Constante universal dos gases

T = Temperatura Termodinâmica

${\displaystyle a}$ = Raio das partículas

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do solvente puro

${\displaystyle N_{A}}$ = Número de Avogadro

Por meio do Movimento Browniano, Einstein possibilitou a observação de flutuações de partículas que anteriormente possuíam desvio quadrático médio muito pequeno. A base de sua teoria é tida como a semelhança do comportamento de soluções e do comportamento de suspensões diluídas, onde existe uma relação do coeficiente de difusão com a viscosidade, somado à uma dedução probabilística da equação de difusão.^[7] Diante desses cálculos, foi elaborado para o Movimento Browniano o deslocamento quadrático médio na direção "x" e o tempo de observação "t", tal que:^[8]

                                                               ${\displaystyle <x^{2}>=2Dt}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

No caso tridimensional, devido a isotropia, temos que:

                                                      ${\displaystyle <x^{2}>=<y^{2}>=<z^{2}>={\frac {1}{3}}<r^{2}>}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

                                                               ${\displaystyle <r^{2}>=6Dt}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Alguns anos após as descobertas de Einstein, em 1908, Paul Langevin, assim como outros cientistas, buscou a generalização das fórmulas já criadas. Assim, Langevin definiu que o Movimento Browniano de uma partícula que esteja fora de um campo de força conservativo pode ser escrito como uma equação diferencial, sendo:^[9]

                                                               ${\displaystyle {\operatorname {d} \!v \over \operatorname {d} \!t}=-\eta v+\xi (t)}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde,

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do meio;

${\displaystyle v}$ = Velocidade da particula;

${\displaystyle \xi (t)}$ = Força aleatória.

Vale ressaltar que ${\displaystyle \xi (t)}$ é uma força que mantêm a agitação das partículas em suspensão, sendo atribuída a força gerada pelas moléculas do fluido nas partículas suspensas.

Langevin demonstrou que a variância da velocidade é dada por:

                                                          / G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde,

${\displaystyle \Gamma }$= Constante a ser calculada;

${\displaystyle \eta }$ = Viscosidade do meio;

${\displaystyle t}$= Tempo.

Desse modo, para tempo longos, a função exponencial tende a zero, assim:

                                                              ${\displaystyle <v^{2}>={\frac {\Gamma }{2\eta }}}$

Levando em conta fatores como a energia cinética média das partículas, Langevin demonstra que:

                                                              ${\displaystyle \Gamma =\left({\frac {2\eta k_{B}T}{m}}\right)}$/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Onde,

${\displaystyle K_{B}}$ = Constante de Boltzmann;

T = Temperatura do meio externo.

Dessa maneira, para tempos suficientemente longos, a teoria de Langevin é equivalente as propostas de Einstein sobre o Movimento Browniano.

Em cálculo estocástico, a fórmula de Tanaka, que recebe este nome em homenagem ao matemático japonês Hiroshi Tanaka, afirma que:^[1]

${\displaystyle |B_{t}|=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(B_{s})dB_{s}+L_{t}}$,

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

em ${\displaystyle B_{t}}$ é o movimento browniano padrão, ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ denota a função sinal

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}+1,&x>0;\\0,&x=0\\-1,&x<0.\end{cases}}}$,

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

e ${\displaystyle L_{t}}$ é seu tempo local em 0 (o tempo local gasto por ${\displaystyle B}$ em 0 antes do tempo ${\displaystyle t}$) dado pelo limite L²

${\displaystyle L_{t}=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}|\{s\in [0,t]|B_{s}\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\}|}$.

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Propriedades

A fórmula de Tanaka é a decomposição de Doob–Meyer explícita do submartingale ${\displaystyle |B_{t}|}$ na parte martingale (a integral do lado da mão direita) e em um processo contínuo crescente (tempo local). Também pode ser vista como o análogo do lema de Itō para a função modular (não suave) ${\displaystyle f(x)=|x|}$, com ${\displaystyle f'(x)=\operatorname {sgn}(x)}$ e ${\displaystyle f''(x)=2\delta (x)}$.^[2]/ G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

Descrição da prova