EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.[quantização de Graceli].

  G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   [ q G*]ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

[ q G*] ==G ψ = E ψ =  E [G+].... .. 

SISTEMA GRACELI DE:

 TENSOR G+ GRACELI = SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA., POTENCIAL DE ENERGIA, POTENCIAL QUÍMICO,  SISTEMA GRACELI DO INFINITO DIMENSIONAL.

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI. 

[ q G*] = energia quântica Graceli.

O número de Knudsen (Kn) é um número adimensional, definido como a razão entre o comprimento do caminho livre médio molecular e uma escala de comprimento fisicamente representativa. Esta escala de comprimento pode ser, por exemplo, o raio de um corpo no fluido. O número foi batizado em honra do físico Martin Knudsen.

Definição

O número de Knudsen é definido como:

${\displaystyle {\mathit {Kn}}={\frac {\lambda }{L}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

sendo

• ${\displaystyle \lambda }$ = caminho livre médio (m)
• L = escala de comprimento fisicamente representativa (m)

Para um gás ideal, o caminho livre médio pode ser prontamente calculado:

${\displaystyle {\mathit {Kn}}={\frac {k_{B}T}{{\sqrt {2}}\pi \sigma ^{2}PL}}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Onde:

• k_B = Constante de Boltzmann (aproximadamente 1.38×10⁻²³ J/K)
• T = temperatura (K)
• ${\displaystyle \sigma }$ = diâmetro da partícula (m)
• P = pressão total (Pa)

(*Para a dinâmica das partículas na atmosfera, e assumindo as Condições Normais de Temperatura e Pressão, isto é: 25 °C, 1 atm, nós temos ${\displaystyle \lambda }$ = 8×10⁻⁸ m. )

Aplicação

O número de Knudsen é muito útil para determinar se a formulação da mecânica estatística ou da mecânica do continuo deve ser usada: Se o número de Knudsen é próximo ou maior que um, o caminho médio livre de uma molécula é comparável a escala de comprimento do problema, e a consideração de continuidade da mecânica dos fluidos não é mais uma boa aproximação. Neste caso a mecânica estatística deve ser usada.

Problemas com número de Knudsen altos incluem o calculo do movimento de uma particular de poeira através da baixa atmosfera, ou o movimento de um satélite através da exosfera. A solução de um fluxo em torno de uma aeronave tem um baixo número de Knudsen. Usando o número de Knudsen um ajuste para a Lei de Stokes pode ser usado no fator de correção de Cunningham, este é uma força de arrasto de correção devido a presença de pequenas partículas (isto é: d_p <5 µm).

Em mecânica estatística e teoria cinética dos gases, percurso livre médio ou caminho livre médio é a distância média ou o espaço médio percorrido entre duas colisões sucessivas das moléculas de um gás. Essa teoria também é válida para fótons ou átomos.

As moléculas de um gás estão em constante movimento, chocando-se umas com as outras, e a temperatura do gás é função da energia cinética dessas moléculas.

Pode-se pensar na existência do caminho livre médio imaginando que um frasco de perfume é aberto de um lado de uma sala. A 300 kelvin, a raiz da velocidade quadrática média das moléculas de ar é de 432 metros por segundo. Entretanto, sabe-se que o perfume leva um tempo muito maior do que o tempo mínimo necessário para percorrer o comprimento da sala nessa velocidade (e em alguns casos nem chega ao outro lado). Isto ocorre porque há colisões aleatórias. Na figura ao lado, pode-se analisar a distância média entre as trocas de direções de uma partícula (ilustrada pelo movimento browniano).

Cálculo do percurso livre médio

O percurso livre médio é calculado multiplicando-se a velocidade média das partículas do gás pelo tempo entre as colisões:

${\displaystyle \ell =vt\,}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

sendo v a velocidade média das moléculas que será proporcional à raiz quadrada da temperatura e inversamente proporcional à raiz da massa da molécula e t o tempo médio entre colisões o qual depende fundamentalmente da densidade do gás.

Se pode estimar mediante a expressão:

${\displaystyle \ell ={\frac {1}{n\sigma }}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Onde n é o número de moléculas por unidade de volume e σ é a seção eficaz de dispersão.

Percurso livre médio na teoria cinética dos gases

O choque de duas moléculas de raio "r" e diâmetro "d" pode ser aproximado por uma molécula com diâmetro "2d" e outras puntuais. Abaixo um cilindro varrido por essa molécula em um certo intervalo de tempo.

Na teoria cinética dos gases, o percurso livre médio de uma partícula, tal como uma molécula, é a distância média que a partícula percorre entre colisões com outras partículas em movimento. A fórmula ${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1},}$ ainda sustenta-se para uma partícula com uma alta velocidade relativa às velocidades de um conjunto de partículas idênticas com localizações aleatórias. Se, por outro lado, as velocidades das partículas idênticas tem uma distribuição de Maxwell de velocidades, a seguinte relação se aplica:

${\displaystyle \ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}.\,}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Outra maneira de perceber o percurso livre médio, é imaginar duas moléculas chocando-se (figura ao lado). Cada molécula possui raio ${\displaystyle r}$ e diâmetro ${\displaystyle d}$. Para ocorrer uma colisão, é preciso que os centros das duas moléculas estejam a uma distância igual ao diâmetro. Por simplificação, supõe-se que apenas uma outra molécula, de raio ${\displaystyle 2r}$ e diâmetro ${\displaystyle 2d}$, está se movendo. Nesse caso, quando a molécula em questão move-se por um certo período de tempo ${\displaystyle t}$, ela varre um cilindro com volume igual a ${\displaystyle d^{2}\pi v\Delta t}$. O número de moléculas no interior desse cilindro é igual ao número de colisões; logo, multiplicando-se o resultado anterior por ${\displaystyle n/V}$, que representa a concentração de moléculas, onde ${\displaystyle n}$ é o número de moléculas e ${\displaystyle V}$ é o volume total, obtém-se o número de colisões. Sendo ${\displaystyle v\Delta t}$ a distância percorrida, tem-se que:

${\displaystyle \ell ={\frac {v\Delta t}{d^{2}\pi v\Delta t{\frac {n}{V}}}}={\frac {1}{d^{2}\pi {\frac {n}{V}}}}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Percebe-se que ${\displaystyle \ell }$ é inversamente proporcional a ${\displaystyle n/V}$, ao quadrado do diâmetro da molécula, ${\displaystyle d^{2}}$. O fator quadrado deriva da seção de choque. Para retirar a simplificação -se de que apenas uma molécula está em movimento acrescenta-se um fator ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ proveniente da distribuição de Boltzmann e finalmente obtém-se:

${\displaystyle \ell ={\frac {1}{{\sqrt {2}}d^{2}\pi {\frac {n}{V}}}}}$ ^[1]

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Percurso livre médio em física nuclear

Modelos de partículas independentes em física nuclear exigem uma órbita imperturbável de um nucleon antes de interagir com outros núcleos. Blatt e Victor Weisskopf , no seu livro de 1952 "Theoretical Nuclear Physics" (pág. 778) escreveu "O percurso livre médio eficaz de um núcleon em matéria nuclear deve ser um pouco maior do que as dimensões nucleares, para permitir o uso do modelo de partícula independente. Este requisito parece estar em contradição com os pressupostos feitos na teoria ... Aqui estamos diante de um dos problemas fundamentais da física da estrutura nuclear, que ainda tem de ser resolvido." (Citado por Norman D. Cook em "Modelos do núcleo atômico" Ed.2 (2010) Springer, no capítulo 5, "O percurso livre médio de Nucleons em núcleos"). ^[2]

Percurso livre médio na óptica

Se alguém toma uma suspensão de luz não absorvendo partículas de diâmetro d, com uma fração Φ volume, o caminho livre médio ^[3] dos fótons é:

${\displaystyle \ell ={\frac {2d}{3\Phi Q_{s}}}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde ${\displaystyle Q_{s}}$ o fator de eficiência de dispersão. ${\displaystyle Q_{s}}$ pode ser simplificada numericamente por partículas esféricas, graças à teoria de Mie.

Percurso livre médio na acústica

Em uma cavidade vazia, o percurso livre médio de uma única partícula saindo de suas paredes é:

${\displaystyle \ell ={\frac {4V}{S}}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde ${\displaystyle V}$ é o volume da cavidade e ${\displaystyle S}$ é a área da superfície total, dentro da cavidade. Esta relação é utilizada na derivação da fórmula de Sabine em acústica, usando uma aproximação geométrica de propagação do som. ^[4]

Em física (mais especificamente, em teoria cinética) a relação de Einstein (também conhecida como relação de Einstein–Smoluchowski) é uma conexão inesperada revelada anteriormente de forma independente por Albert Einstein em 1905 e por Marian Smoluchowski (1906) em seus estudos sobre movimento Browniano. Dois importantes casos especiais da relação são:

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

(difusão de partículas carregadas)

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

("equação de Einstein–Stokes", para a difusão de partículas esféricas através de um líquido com baixo número de Reynolds)

onde

• D é a constante de difusão,
• q é a carga elétrica da partícula,
• μ_q, a mobilidade elétrica da partícula carregada, i.e. a razão da velocidade de deriva terminal da partícula para um campo elétrico aplicado,
• ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann,
• T é a temperatura absoluta,
• η é a viscosidade
• r é o raio da partícula esférica.

A forma mais geral da equação é:

${\displaystyle D=\mu \,k_{B}T}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde a "mobilidade" μ é a razão da velocidade de deriva terminal da partícula a uma força aplicada, μ = v_d / F.

Esta equação é um exemplo inicial do relação de flutuação-dissipação. É frequentemente usada no fenômeno de eletrodifusão.

Derivações de casos especiais da forma geral

Equação da mobilidade elétrica

Para uma partícula com carga q, sua mobilidade elétrica μ_q é relacionada a sua mobilidade generalizada μ pela equação μ=μ_q/q. Entretanto, a forma geral da equação

${\displaystyle D=\mu \,k_{B}T}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

é no caso de uma partícula carregada:

${\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{B}T}{q}}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Equação de Einstein–Stokes

No limite de baixos números de Reynolds, a mobilidade ${\displaystyle \mu }$ é o inverso do coeficiente de arrasto ${\displaystyle \zeta }$. Uma constante de amortecimento, ${\displaystyle \gamma }$, é frequentemente usada no contexto de ${\displaystyle \gamma ^{-1}}$, o que implica que o tempo de relaxamento de momento (o tempo necessário para o momento de inércia tornar-se negligenciável comparado ao momento aleatório) do objeto difusivo.

Para partículas esféricas de raio ${\displaystyle r}$, a lei de Stokes fornece

${\displaystyle \zeta =m\gamma =6\pi \,\eta \,r,}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde ${\displaystyle \eta }$ é a viscosidade do medio. Então a relação de Einstein torna-se

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Semicondutor

Em um semicondutor com uma densidade dos estados arbitrária a relação de Einstein é^[1]

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde ${\displaystyle \eta }$ é o potencial químico e p o número de partículas.

Prova do caso geral

(Esta é a demonstração em uma dimensão, mas é idêntica a uma demonstração em duas ou três dimensões: Apenas substitui-se d/dx com ${\displaystyle \nabla }$. Essencialmente a mesma deonstração é encontrada em muitos lugares, por exemplo ver Kubo.^[2])

Supondo-se alguma energia potencial U cria uma força sobre uma partícula ${\displaystyle F=-dU/dx}$ (por exemplo, uma força elétrica). Assumindo-se que a partícula irá responder, outras coisas iguais, por mover-se com velocidade ${\displaystyle v=\mu F}$. Agora assume-se que existe um grande número de tais partículas, com concentração ${\displaystyle f(x)}$ como uma função da posição. Após algum tempo, o equilíbrio irá ser estabelecido: As partículas irão "acumular-se" em torno das áreas com mais baixa U, mas ainda serão espalhadas em certa medida por causa da difusão aleatória. Neste ponto, não há um fluxo em balanço, resultante, de partículas: A tendência das partículas para serem empurradas para mais baixa U (chamada "corrente de deriva") é igual e oposta à tendência das partículas de se espalhar devido à difusão (chamada "corrente de difusão").

O fluxo resultante de partículas devido à corrente de deriva isolado é

${\displaystyle J_{\mathrm {deriva} }(x)=\mu \,F(x)\,f(x)=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

(i.e. o número de partículas fluindo após um ponto é a concentração de partículas vezes a velocidade média.)

O fluxo líquido (resultante) de partículas devido à corrente de difusão isolada é, pela lei de Fick

${\displaystyle J_{\mathrm {difus.} }(x)=-D{\frac {df}{dx}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

(o sinal negativo significa que as partículas fluem da maior concentração para a mais baixa).

O equilíbrio requer:

${\displaystyle 0=J_{\mathrm {deriva} }+J_{\mathrm {difus.} }=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}-D{\frac {df}{dx}}}$ 

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

No equilíbrio, pode-se aplicar termodinâmica, em particular a estatística de Boltzmann, para inferir que

${\displaystyle f(x)=Ae^{-U/(k_{B}T)}}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

onde A é alguma constante relacionada com o número total de partículas. Portanto, com a regra da cadeia,

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {-dU/dx}{k_{B}T}}f(x).}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Finalmente, ligando isso em:

${\displaystyle 0=J_{\mathrm {deriva} }+J_{\mathrm {difus.} }=-f(x)\mu {\frac {dU}{dx}}-D{\frac {df}{dx}}=-f(x){\frac {dU}{dx}}\left(\mu -{\frac {D}{k_{B}T}}\right)}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Como esta equação deve se sustentar em todos os locais,

${\displaystyle \mu ={\frac {D}{k_{B}T}}.}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

Em termodinâmica, a relação de Gibbs-Duhem descreve as variações do potencial químico associadas as diferentes componentes de um sistema. Ela é consequência direta da relação de Euler para funções homogêneas e se escreve para um sistema de ${\displaystyle I}$ componentes^[1]:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{I}N_{i}\,\mathrm {d} \mu _{i}=-S\,\mathrm {d} T+V\,\mathrm {d} p\,}$

/ G ψ = E ψ =  E [G+].... ..  

sendo ${\displaystyle N_{i}}$ o número de moles da componente i, ${\displaystyle \mu _{i}}$ o potencial químico da componente i, ${\displaystyle S}$ a entropia do sistema, ${\displaystyle T}$ a temperatura, ${\displaystyle V}$ o volume e ${\displaystyle p}$ a pressão.